学生作品 相交线）

　　最近，初一橄榄树教室学习了《相交线与平行线》，孩子们在赵老师的鼓励下继续向小论文发起挑战。

　　在初中平面几何学习中，最重要的是建构公理化系统，培养学生严谨的逻辑推理能力。简言之，何为“公理”？何为“

　　”？公理是否就是没有道理可讲的“真理”？这些非常重要但又容易被人忽视的问题，正是贞元数学课程中要重点讨论的内容。孩子们是如何理解这些问题的呢？快来从他们的小论文中一探究竟吧！

　　相交和平行都是线与线之间的位置关系。那么两条线到底怎样才算相交？怎样才算平行呢？如果两条直线有一个公共点，那么这两条直线就是相交。那什么是平行？共面的两条直线不相交就平行。

　　那么在相交中又有什么特殊的位置关系呢？最熟悉的是垂直。也就是这两条线度，还有什么特殊的角度呢？平角是180度。那两个角相加恰巧等于180度。也算是一种特殊的关系。这样的两个角，互为补角。那么两个角相加等于180度特殊，那两个角相加等于90度也很特殊，所以两个角相加等于90度，它们就互为余角。那我们也就可以证明：同角(等角)的余角(补角)相等。

　　我们要怎么判定平行呢？刚才我们定义平行为同一平面内两条直线不相交。可是如果有两条直线，我们要将它们无限延伸，才能知道是否平行。可是，我们怎么可能真的把两条直线“无限延伸”，去检验它们有没有交点呢？所以，

　　。那我们还有什么简便的方法来判定呢？让我们从画平行线入手吧。一般情况下，要画一条平行线，我们需要用到一个三角尺和一个直尺，三角尺的一条边与直尺的一条边重合。沿着三角尺的另一条边画一条直线，将三角尺沿着直尺边向下平移，再沿同一条边画一条直线，这样画出的两条直线就是平行的。

　　为什么我们能确定这两条直线是平行的呢？因为在这个平移过程中，∠1和∠2的度数是一样的。也就是说，只要确保∠1=∠2，我们就可以确保直线是被“平移”的，也就可以确保平行了。通过画图，我们很容易发现这个规律。因此我们猜想：只要∠1=∠2，我们能判定这两条直线平行。

　　∠1和∠4都在直线a，b的下方，在直线c的右方，所以我们给这样的角命名为同位角。我们把这叫做平行线判定定理一，内容是：同位角相等，两直线平行。这其实是一个公理，它是不证自明的。作为我们探索的起点。

　　除了“同位角相等”能判定两直线平行，还有其他方法吗？如果内错角相等，两直线平行吗？内错角就是直线a，b被直线，它们都在直线a，b内侧，而且被直线c错开，所以叫内错角。如果∠1=∠8，能证明直线a平行于直线b吗？可以！

　　这个定理我们把它叫做平行线判定定理二。内容就是：内错角相等，两直线平行。

　　如下图，用∠5和∠8的关系能证明直线，在直线a、b内，在c的同一边，所以我们叫同旁内角。如果同旁内角互补，可以证明吗？也可以，即用∠5＋∠8=180°，来证明a ∥ b。

　　现在已知直线a平行于直线b，我能得到什么信息呢？同位角，内错角还会相等吗？同旁内角还会互补吗？我们可以证明一下。首先两直线平行，同位角相等吗？从直观感受上来看，是相等的。也就是说两直线平行，同位角相等。这个公理也是不证自明。所以我们就把它命名为平行线性质定理（公理）一：两直线平行，同位角相等。

　　我们刚才用同旁内角互补证明两直线平行，现在如果两直线平行，那同旁内角是不是也互补呢。

　　我们会发现平行线的判定与性质有一种互逆的关系。判定是已知角与角的关系，来判定线与线平行；性质是已知线与线平行，判定角与角的关系。

　　利用平行线的性质，我们可以研究平行四边形、三角形的性质，得到更多的定理。

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